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多边形的内角和与外角和导学案PPT课件公开课实录

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多边形的内角和与外角和导学案PPT课件公开课实录

９．２多边形的内角和与外角和

教学目的

1．使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。

2．使学生通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会利用它们进行有关计算。

重点、难点

1．重点：多边形的内角和与外角和定理。

2．难点：多边形的内角和，外角和定理的推导

教学过程

一、复习提问

1．什么叫三角形?

2．三角形的内角和是多少?

3．什么叫三角形的外角?什么叫外角和?三角形的外角和是多少?

二、新授

1．多边形的概念，

三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形(但习惯称三角形)。我们知道：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。

你能说出什么叫四边形、五边形吗?

如图(1)它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD。(按顺时针或逆时针方向书写) A

D D

C B F

A C E

A B E

B (1) (2) D (3)

图(2)是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE。

一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n边形，又称多边形。

与三角形类似如图，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，延长 AB、CB得四边形ABCD的两个外角∠CBE和∠ABF，这两个外角是对顶角。一个n边形有n个内角，有2n个外角。

如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。连结多边形不相邻的'两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图1，线段AC是四边形 ABCD的对角线，如图2，线段AD、AC是四边形ABCDE的对角线，如图3中线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的对角线。

问：(1)四边形有几条对角线?(两条AC、BD)

(2)五边形有几条对角线?

以A为端点的对角线有两条AC、AD，同样以月为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、BD都分别表示同一条线段。所以只有5条。

(3)六边形有几条对角线?n边形呢? 六边形有9条对角线。

从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条， (除本身这个点以及和这点相邻的两点外)，那么n个顶点，就有n(n- 3)条，但其中每一条都重复计算一次，如AB与BA，所以n边形一共有条对角线。

大家可以加以验证：当n=3时，没有对角线，当n=4时，有2条；当n=5时，有5条：当n=6时，有9条…

2．多边形的内角和公式。

三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于180°，那么一般n边形是否也有内角和公式呢?让我们先从四边形，正边形，六边形……开始。

从上面对角线的研究可知，一条对角线把四边形分成2个三角形，这两个三角形的内角和的和就是四边形的内角和，五边形的内角和就是图中3个三角表内角和的和。

让学生填写教科书表9.2.1,由此你可以得到“n”边形的内角和公式吗?

n边形的内角和＝(n-2)?180°知道一个多边形的内角和，根据公式也可以求边数n。

例1．一个多边形的内角和等于2340°，求它的边数。

问题：一个正多边形的一个内角为150°，你知道它是几边形?

分析：正多边形的每个内角都相等。多边形的内角和等于(n-2)?180°，还可以用以下的划分来说明，即在n边形内任取一点P，连结点P与多边形的每个顶点，可得几个三角形?这几个三角形的各内角与这个多边的各内角之间有什么关系?请你试一试。

对有困难的学生教师可以加以引导。

如图(教科书图9.2.5)每一个三角形都有一条边就是多边形的边，因此n边形就可划分成n个三角形，这n个三角形的内角和减去以 P为顶点的周角所得的差就是n边形的内角和。因此，n边形的内角和为：

n?180°-360°＝n?180°-2?180°=(n-2)?180°

问：还有其他方法吗?让学生自主探索，对不同方法给予鼓励。

3．多边形的外角和。

什么叫多边形的外角和。

与三角形的外角和一样，与多边形的每个内角相邻的外角有两个，这两个角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和，如教科书图9.2.6，∠1+∠2+∠3+∠4就是四边形的外角和。

多边形的外角和是否也可以用公式表示呢?下面我们也来探讨。

因为n边形的一个内角与它的相邻的外角互为补角，所以可先求出多边形的内角与外角的总和，再减去内角和，就可得到外角和。

让学生填写填教科写表9.2.2

n边形的内角与外角的总和为n?180°

n边形的内角和为(n-2)?180°

那么n边形的外角和为n?180°－(n－2)?180°=n?180°-n?180°+360°=360°

这就是说多边形的外角和与边数无关，都等于360°。

例2．一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°，求这个正多边形的边数。

分析：正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多边形的外角和是360°，因此只要求出每个外角度数，就可知是几边形了。

点拨；多边形的外角和等于360°，与边数无关，故常把多边形内角的问题转化为外角和来处理。

　　三、巩固练习

1．教科书第70页练习1．2。

第2题引导学生从外角考虑，多边形的内角是锐角，那么和这个内角相邻的外角是什么样的角?[钝角]

多边形的外角和是360°，那么在这些外角中钝角的个数最多可以是几个?3个可以吗?4个呢?让学生动手算一算，由他们自己得出结论．

从而得到最多可以有3个外角是钝角，即多边形的内角中最多可以有3个是锐角。

四、小结

本节课我们通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n-2)?180°。这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握。由于多边形的外角和等于360°，与边数无关，所以常把多边形内角的问题转化为外角和来处理。

五、作业

教科书习题9。2 1、2、3、4。

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