标题 | 高中函数的知识点总结 |
范文 | 关于高中函数的知识点总结 导语:小编整理高中数学知识点总结:包括有关函数、数列、平面解析几何、立体几何等知识点的整理。以供参考。 高中函数的知识点总结11. 函数的奇偶性 (1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x) ; (2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则 f(0)=0(可用于求参数); (3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0); (4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性; (5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性; 2. 复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法:若已知 的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的`定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。 (2)复合函数的单调性由“同增异减”判定; 3.函数图像(或方程曲线的对称性) (1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (2)证明图像C1与C2的对称性,即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然; (3)曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0); (4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0; (5)若函数y=f(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称; (6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称; 4.函数的周期性 (1)y=f(x)对x∈R时,f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数; (2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数; (3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数; (4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2 的周期函数; (5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数; (6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ,则y=f(x)是周期为2 的周期函数; 5. 方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域); 6. a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min; 7. (1) (a0,a≠1,b0,n∈R+); (2) l og a N= ( a0,a≠1,b0,b≠1); (3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a0,a≠1,N 8. 判断对应是否为映射时,抓住两点: (1)A中元素必须都有象且唯一; (2)B中元素不一定都有原象,并且A中不同元素在B中可以有相同的象; 9. 能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性。 10.对于反函数,应掌握以下一些结论: (1)定义域上的单调函数必有反函数; (2)奇函数的反函数也是奇函数; (3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数; (4)周期函数不存在反函数; (5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性; (5) y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数,设f(x)的定义域为A,值域为B,则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A). 11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系; 12. 依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题 13. 恒成立问题的处理方法: (1)分离参数法; (2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解; 高中函数的知识点总结2一、函数的定义域的常用求法: 1、分式的分母不等于零; 2、偶次方根的被开方数大于等于零; 3、对数的真数大于零; 4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1; 5、三角函数正切函数y=tanx中x≠kπ+π/2; 6、如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法: 1、定义法; 2、换元法; 3、待定系数法; 4、函数方程法; 5、参数法; 6、配方法 三、函数的值域的常用求法: 1、换元法; 2、配方法; 3、判别式法; 4、几何法; 5、不等式法; 6、单调性法; 7、直接法 四、函数的最值的常用求法: 1、配方法; 2、换元法; 3、不等式法; 4、几何法; 5、单调性法 五、函数单调性的.常用结论: 1、若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数,则f(x)+g(x)在这个区间上也为增(减)函数 2、若f(x)为增(减)函数,则-f(x)为减(增)函数 3、若f(x)与g(x)的单调性相同,则f[g(x)]是增函数;若f(x)与g(x)的单调性不同,则f[g(x)]是减函数。 4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论: 1、如果一个奇函数在x=0处有定义,则f(0)=0,如果一个函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数,则f(x)=0(反之不成立) 2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 4、两个函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。 5、若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)可以表示为f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)+f(-x)],该式的特点是:右端为一个奇函数和一个偶函数的和。 高中函数的知识点总结3一次函数 一、定义与定义式: 自变量x和因变量y有如下关系: y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。 即:y=kx (k为常数,k0) 二、一次函数的性质: 1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k 即:y=kx+b (k为任意不为零的实数b取任何实数) 2、当x=0时,b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质: 1、作法与图形:通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线,可以作出一次函数的图像一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2、性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(—b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。 3、k,b与函数图像所在象限: 当k0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大; 当k0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。 当b0时,直线必通过一、二象限; 当b=0时,直线通过原点 当b0时,直线必通过三、四象限。 特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。 这时,当k0时,直线只通过一、三象限;当k0时,直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式: 已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b ①和y2=kx2+b ② (3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用: 1、当时间t一定,距离s是速度v的`一次函数。s=vt。 2、当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S—ft。 六、常用公式:(不全,希望有人补充) 1、求函数图像的k值:(y1—y2)/(x1—x2) 2、求与x轴平行线段的中点:|x1—x2|/2 3、求与y轴平行线段的中点:|y1—y2|/2 4、求任意线段的长:(x1—x2)^2+(y1—y2)^2 (注:根号下(x1—x2)与(y1—y2)的平方和) 二次函数 I、定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c (a,b,c为常数,a0,且a决定函数的开口方向,a0时,开口方向向上,a0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大、) 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II、二次函数的三种表达式 一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a0) 顶点式:y=a(x—h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)] 交点式:y=a(x—x)(x—x ) [仅限于与x轴有交点A(x,0)和B(x,0)的抛物线] 注:在3种形式的互相转化中,有如下关系: h=—b/2ak=(4ac—b^2)/4a x,x=(—bb^2—4ac)/2a III、二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像, 可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。 IV、抛物线的性质 1、抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x= —b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 2、抛物线有一个顶点P,坐标为 P( —b/2a,(4ac—b^2)/4a ) 当—b/2a=0时,P在y轴上;当= b^2—4ac=0时,P在x轴上。 3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a0时,抛物线向上开口;当a0时,抛物线向下开口。 |a|越大,则抛物线的开口越小。 4、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab0),对称轴在y轴右。 5、常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0,c) 6、抛物线与x轴交点个数 = b^2—4ac0时,抛物线与x轴有2个交点。 = b^2—4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。 = b^2—4ac0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= —bb^2—4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a) V、二次函数与一元二次方程 特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c, 当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程), 即ax^2+bx+c=0 此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1、二次函数y=ax^2,y=a(x—h)^2,y=a(x—h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表: 解析式顶点坐标对称轴 y=ax^2(0,0) x=0 y=a(x—h)^2(h,0) x=h y=a(x—h)^2+k(h,k) x=h y=ax^2+bx+c(—b/2a,[4ac—b^2]/4a) x=—b/2a 当h0时,y=a(x—h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到, 当h0时,则向左平行移动|h|个单位得到、 当h0,k0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x—h)^2+k的图象; 当h0,k0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x—h)^2+k的图象; 当h0,k0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x—h)^2+k的图象; 当h0,k0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x—h)^2+k的图象; 因此,研究抛物线y=ax^2+bx+c(a0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x—h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了、这给画图象提供了方便、 2、抛物线y=ax^2+bx+c(a0)的图象:当a0时,开口向上,当a0时开口向下,对称轴是直线x=—b/2a,顶点坐标是(—b/2a,[4ac—b^2]/4a)、 3、抛物线y=ax^2+bx+c(a0),若a0,当x —b/2a时,y随x的增大而减小;当x —b/2a时,y随x的增大而增大、若a0,当x —b/2a时,y随x的增大而增大;当x —b/2a时,y随x的增大而减小、 4、抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点: (1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c); (2)当△=b^2—4ac0,图象与x轴交于两点A(x,0)和B(x,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c= (a0)的两根、这两点间的距离AB=|x—x| 当△=0、图象与x轴只有一个交点; 当△0、图象与x轴没有交点、当a0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y0;当a0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y0、 5、抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a0(a0),则当x= —b/2a时,y最小(大)值=(4ac—b^2)/4a、 顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值、 6、用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式: y=ax^2+bx+c(a0)、 (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x—h)^2+k(a0)、 (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x—x)(x—x)(a0)、 7、二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现、 反比例函数 形如y=k/x(k为常数且k0)的函数,叫做反比例函数。 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 反比例函数图像性质: 反比例函数的图像为双曲线。 由于反比例函数属于奇函数,有f(—x)=—f(x),图像关于原点对称。 另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴作垂线,这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为∣k∣。 如图,上面给出了k分别为正和负(2和—2)时的函数图像。 当K0时,反比例函数图像经过一,三象限,是减函数 当K0时,反比例函数图像经过二,四象限,是增函数 反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴,无法和坐标轴相交。 知识点: 1、过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。 2、对于双曲线y=k/x,若在分母上加减任意一个实数(即y=k/(xm)m为常数),就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移,减一个数时向右平移) 高中函数的知识点总结41.函数的定义 函数是高考数学中的重点内容,学习函数需要首先掌握函数的各个知识点,然后运用函数的各种性质来解决具体的问题。 设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A-B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),xA 2.函数的定义域 函数的定义域分为自然定义域和实际定义域两种,如果给定的函数的解析式(不注明定义域),其定义域应指的是使该解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),如果函数是有实际问题确定的,这时应根据自变量的实际意义来确定,函数的值域是由全体函数值组成的集合。 3.求解析式 求函数的解析式一般有三种种情况: (1)根据实际问题建立函数关系式,这种情况需引入合适的`变量,根据数学的有关知识找出函数关系式。 (2)有时体中给出函数特征,求函数的解析式,可用待定系数法。 (3)换元法求解析式,f[h(x)]=g(x)求f(x)的问题,往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元来解。掌握求函数解析式的前提是,需要对各种函数的性质了解且熟悉。 目前我们已经学习了常数函数、指数与指数函数、对数与对数函数、幂函数、三角函数、反比例函数、二次函数以及由以上几种函数加减乘除,或者复合的一些相对较复杂的函数,但是这种函数也是初等函数。 |
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