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三角函数的图象与性质教学设计

范文

三角函数的图象与性质教学设计

●知识梳理

1.三角函数的图象和性质

函数

性质=sinx=csx=tanx

定义域

值域

图象

奇偶性

周期性

单调性

对称性

注：读者自己填写.

2.图象与性质是一个密不可分的整体，研究性质要注意联想图象.

●学生练习

1.函数=sin（－2x）+sin2x的最小正周期是

A.2πB.πC. D.4π

解析：= cs2x－ sin2x+sin2x= cs2x+ sin2x=sin（ +2x），T=π.

答案：B

2.若f（x）sinx是周期为π的奇函数，则f（x）可以是

A.sinxB.csxC.sin2xD.cs2x

解析：检验.

答案：B

3.函数=2sin（－2x）（x∈［0，π］）为增函数的区间是

A.［0，］B.［，］

C.［，］D.［，π］

解析：由=2sin（－2x）=－2sin（2x－）其增区间可由=2sin（2x－）的减区间得到，即2π+ ≤2x－ ≤2π+ ，∈Z.

∴π+ ≤x≤π+ ，∈Z.

令=0，故选C.

答案：C

4.把=sinx的图象向左平移个单位，得到函数____________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数____________的图象.

解析：向左平移个单位，即以x+ 代x，得到函数=sin（x+ ），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以 x代x，得到函数：=sin（ x+ ）.

答案：=sin（x+ ） =sin（ x+ ）

5.函数=lg（csx－sinx）的定义域是_______.

解析：由csx－sinx＞0 csx＞sinx.由图象观察，知2π－＜x＜2π+ （∈Z）.

答案：2π－＜x＜2π+ （∈Z）

●典例剖析

【例1】（1）=csx+cs（x+ ）的最大值是_______；

（2）=2sin（3x－）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______.

剖析：（1）=csx+ csx－ sinx

= csx－ sinx= （ csx－ sinx）

= sin（－x）.

所以ax= .

（2）T= ，相邻对称轴间的距离为 .

答案：

【例2】（1）已知f（x）的定义域为［0，1），求f（csx）的定义域；

（2）求函数=lgsin（csx）的定义域.

剖析：求函数的定义域：（1）要使0≤csx≤1，（2）要使sin（csx）＞0，这里的csx以它的值充当角.

解：（1）0≤csx＜1 2π－ ≤x≤2π+ ，且x≠2π（∈Z）.

∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2π－，2π+ ］且x≠2π，∈Z｝.

（2）由sin（csx）＞0 2π＜csx＜2π+π（∈Z）.又∵－1≤csx≤1，∴0＜csx≤1.故所求定义域为{x｜x∈（2π－，2π+ ），∈Z｝.

评述：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.

【例3】求函数=sin6x+cs6x的最小正周期，并求x为何值时，有最大值.

剖析：将原函数化成=Asin（ωx+ ）+B的形式，即可求解.

解：=sin6x+cs6x=（sin2x+cs2x）（sin4x－sin2xcs2x+cs4x）=1－3sin2xcs2x=1－ sin22x= cs4x+ .

∴T= .

当cs4x=1，即x= （∈Z）时，ax=1.

深化拓展

函数=tan（ax+θ）（a＞0）当x从n变化为n+1（n∈Z）时，的值恰好由－∞变为+∞，则a=_______.

分析：你知道函数的.周期T吗?

答案：π

●闯关训练

夯实基础

1.若函数f（x）=sin（ωx+ ）的图象（部分）如下图所示，则ω和的取值是

A.ω=1， = B.ω=1， =－

C.ω= ， = D.ω= ， =－

解析：由图象知，T=4（ + ）=4π= ，∴ω= .

又当x= 时，=1，∴sin（ × + ）=1，

+ =2π+ ，∈Z，当=0时， = .

答案：C

2. f（x）=2cs2x+ sin2x+a（a为实常数）在区间［0，］上的最小值为－4，那么a的值等于

A.4B.－6C.－4D.－3

解析：f（x）=1+cs2x+ sin2x+a

=2sin（2x+ ）+a+1.

∵x∈［0，］，∴2x+ ∈［，］.

∴f（x）的最小值为2×（－）+a+1=－4.

∴a=－4.

答案：C

3.函数= 的定义域是_________.

解析：－sin ≥0 sin ≤0 2π－π≤ ≤2π 6π－3π≤x≤6π（∈Z）.

答案：6π－3π≤x≤6π（∈Z）

4.函数=tanx－ctx的最小正周期为____________.

解析：= － =－2ct2x，T= .

答案：

5.求函数f（x）= 的最小正周期、最大值和最小值.

解：f（x）=

= = （1+sinxcsx）

= sin2x+ ，

所以函数f（x）的最小正周期是π，最大值是，最小值是 .

6.已知x∈［，］，函数=cs2x－sinx+b+1的最大值为，试求其最小值.

解：∵=－2（sinx+ ）2+ +b，

又－1≤sinx≤ ，∴当sinx=－时，

ax= +b= b=－1；

当sinx= 时，in=－ .

培养能力

7.求使 = sin（－）成立的θ的区间.

解： = sin（－）

= （ sin － cs ）｜sin －cs ｜=sin －cs

sin ≥cs 2π+ ≤ ≤2π+ （∈Z）.

因此θ∈［4π+ ，4π+ ］（∈Z）.

8.已知方程sinx+csx=在0≤x≤π上有两解，求的取值范围.

解：原方程sinx+csx= sin（x+ ）=，在同一坐标系内作函数1= sin（x+ ）与2=的图象.对于= sin（x+ ），令x=0，得=1.

∴当∈［1，）时，观察知两曲线在［0，π］上有两交点，方程有两解.

评述：本题是通过函数图象交点个数判断方程实数解的个数，应重视这种方法.

探究创新

9.已知函数f（x）=

（1）画出f（x）的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值；

（2）判断f（x）是否为周期函数.如果是，求出最小正周期.

解：（1）实线即为f（x）的图象.

单调增区间为［2π+ ，2π+ ］，［2π+ ，2π+2π］（∈Z），

单调减区间为［2π，2π+ ］，［2π+ ，2π+ ］（∈Z），

f（x）ax=1，f（x）in=－ .

（2）f（x）为周期函数，T=2π.

●思悟小结

1.三角函数是函数的一个分支，它除了符合函数的所有关系和共性外，还有它自身的属性.

2.求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误.

●教师下载中心

教学点睛

1.知识精讲由学生填写，起到回顾作用.

2.例2、例4作为重点讲解，例1、例3诱导即可.

拓展题例

【例1】已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是

A.若α、β是第一象限角，则csα＞csβ

B.若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβ

C.若α、β是第三象限角，则csα＞csβ

D.若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ

解析：借助三角函数线易得结论.

答案：Ｄ

【例2】函数f（x）=－sin2x+sinx+a，若1≤f（x）≤ 对一切x∈R恒成立，求a的取值范围.

解：f（x）=－sin2x+sinx+a

=－（sinx－）2+a+ .

由1≤f（x）≤

1≤－（sinx－）2+a+ ≤

a－4≤（sinx－）2≤a－ .①

由－1≤sinx≤1 － ≤sinx－ ≤

（sinx－） = ，（sinx－） =0.

∴要使①式恒成立，

只需 3≤a≤4.

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