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华杯赛试题及答案

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2017华杯赛试题及答案

１．摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程的三分之一就到达目的地了.问:A、B两市相距多少千米？

2．问：（a）1995年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？

（b）1996年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？

3．甲、乙、丙三个班人数相同，在班之间举行象棋比赛，将各班同学都按1，2，3，，编号．当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒，在甲、乙两班比赛时，有15台是男、女生对垒；在乙、丙两班比赛时，有9台是男、女生对垒．试说明在甲、丙两班比赛时，男、女生对垒的台数不会超过24．什么情况下，正好是24？

4．用0，1，2，3，4五个数字，组成四位数，每个四位数中的数字不同（如1023，2341），求全体这样的四位数之和．

5．某幼儿园的小班人数最少，中班有27人，大班比小班多6人，春节分橘子25箱，每箱橘子不超过60个，不少于50个，橘子总数的个位数是7，若每人分19 个，则橘子数不够，现在大班每人比中班每人多分一个，中班每人比小班每人多分一个，刚好分完，问这时大班每人分多少橘子？小班有多少人？

6．一个圆周上有12个点，，，，．以它们为顶点连三角形，使每个点恰是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问有多少种连法？

参考答案

1．A，B两市相距600千米 2．（a）1995年共有53个星期日，全年有五个月有五个星期日，（b）1996年共有52个星期日，全年只有四个月有五个星期日． 3．略 4．259980 5．大班每人分得18个橘子；小班有25人． 6．共有55种不同的连法

1.【解】如图所示．设小镇为D点，傍晚到达E点，F为AB中点.

AD是AC的三分之一，即DC＝2×AD，EB是CE的二分之一，即CE＝2×EB，所以DE＝DC＋CE＝2×(AD十EB)

已知DE＝400，所以AD＋EB＝400÷2＝200，从而AB＝400＋200＝600(千米)

答：A、B两市相距600千米

【注】本题中，“计划上午比下午多走100千米”这一条件是多余的

2.【解】(a)1995年1月1日是星期日，1995年全年有365天，每7天有且仅有一个星期日7×52＝364，因此，从1995年1 11 2日到1995年12月31日．这364天中有52个星期日，加上1995年1月1日这个星期日，共是53个星期日.

最小的月有28天，最大的月有31天，因此无论哪个月都最少有4个星期日，最多有5个星期日.53＝12×4＋5，因此，1995年中有五个月有五个星期日.

(b)1995年1月1日是星期日，经过364天后，1995年12月31日也是星期日.所以1996年1月1日是星期一.1996年是闰年，2月有29天，经过364天后，1996年12月30日是星期一，所以1996年全年共有52个星期日，全年只有四个月有五个星期日.

3.【解】我们可以把乙班同学分成三部分，第一部分为与甲班相同编号的同学异性者（由题设可知这部分乙班同学为15人），第二部分为与丙班相同编号的同学异性者（由题设可知这部分乙班同学为9人），其余为第三部分.设A同学属于第三部分，他与甲班相同编号的同学通性，与丙班相同编号的同学也为同性，所以，与A相同编号的甲班和丙班同学必为同性.由此可知，甲、丙两班比赛时，男、女生对垒的台数不会超过24.只有当与乙班第一部分相同编号的丙班同学均与乙班同学同性，并且与乙班第二部分相同编号的甲班同学也均与乙班同学同性时，甲、丙两班比赛中，男、女生对垒的台数正好是24.

4.【解】千位数字是1的有4×3×2＝24个(因为百位数字可从0、2、3、4中选择，有4种，百位确定后，十位有3种选择，百位，十位确定后，个位有2种选择)．千位数字是2、3、4的也有24种。

百位数字是1的有3×3×2＝18个(因为千位数字可从2、3、4中选择，有3种。千位确定后，十位数字也有3种选择(可以为0)，千位、十位确定后，个位数字有两种选择)百位数字是2、3、4的也有18个。同样，十位数字、个位数字是1、2、3、4的也各有18个因此，所求的和是(1000＋2000＋3000＋4000)×24＋18×(1＋2＋3＋4)×(1＋10＋100)＝259980

5.【解】第一步，估计全园人数的上界

因为小班人数少于中班27人，最多为26人所以大班最多为32人，全园人数最多为26＋27＋32＝85(人)．

第二步，计算中班每人分得的橘子数．

假如大班每人拿出一个橘子，小班每人多分一个橘子，全园小朋友每人分得橘子一样多，还余6个因此19＞中班每人分得橘子数＝＞＞14.6

所以中班每人分得橘子数只可能是15，16，17，18.

橘子总数的个位数是7，(橘子总数－6)的个位数字是1，所以(全园人数×中班每人分得橘子教)的个位数字是1.因此，中班分得橘子数不能是15，16，18，只能是17.

第三步，计算全园人数 85≥全园人数＝＞＞73.

再由(全园人数×17)的个位数字是1，可知全园人数的个位数字是3，从而：全园人数＝83(人)

第四步，计算小班人数

大班人数＋小班人数＝83－27＝56(人)，大班人数一小班人数＝6(人)

所以小班人数＝＝25(人)

答：大班每人分得18个橘子，小班有25人.

6.【解】我们采用递推的'方法

(1)如果圃上只有3个点；那么只有一种连法

(2)如果圆上有6个点，除点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法,

表1:

共有3种连法

(3)如果圆上有9个点，考虑所在的三角形此时，其余的6个点可能分布在①所在三角形的一个边所对的弧上；②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上。在表2中用“＋”号表示它们分布在不同的边所对的弧。如果是情形①，则由(2)，这六个点有三种连法；如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法.

表2

共有12种连法.

(4)最后考虑圆周上有12个点。同样考虑

①每三个点在所在三角形．剩下9个点的分布有三种可能，所在三角形的一条边对应的孤上；②有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；③9个点都在同一段孤上。得到表3．

表3

共有12＋3＋3＋12＋3＋1＋3＋3＋3＋12＝55种答：共有55种不同的连法

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