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浅析相对差损失函数下的保费估计论文

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浅析相对差损失函数下的保费估计论文

1 模型的基本假设

大多数保费原理都具有正的安全负荷，常见的保费原理有期望值原理、指数保费原理、Esscher 保费原理、修正方差原理、条件尾期望保费原理、修正条件尾期望保费原理、Kamp 保费原理等。本文在相对差损失函数下得出了风险保费的信度估计和经验Bayes 保费估计。

全文作如下假设，对随机变量X 的函数求期望时，均假设该期望存在。

定义：对随机变量X，若用a 来估计，损失函数为：

L（X，a）=（1—aX）2 （*）

称上式为相对差损失函数。

定理1 若取损失函数（*），求解最优化问题

minP∈R E[L（X，P）]=minP∈R E（1—PX）2，

得到最优保费P= E（X—2）E（X—1）。

证记φ=E（1—PX）2，则坠φ坠P =2E （1—PX）（—1P X P ），

令坠φ坠P =0 得E（1X）=E（ PX2 ），

于是P= E（X—2）E（X—1），即得证。

根据定理1 保证了风险随机变量X 最佳的估计是在相对差损失函数下给出的最优保费P，我们通常称此种保费为聚合估计，记为H（X），此保费是在相对差损失函数下得到的。

给定风险参数Θ 的`条件下，作以下假定：

假定1 风险参数Θ 可以识别非负随机变量X，并且π（θ）是风险参数Θ 的先验分布。

假定2 给定Θ=θ，随机列X1，X2，…，Xn 是独立的，与X 是同分布的，并且有同样的分布函数FX （ x，θ），记Xn=（X1，X2，…，Xn），表示到时刻n 为止的索赔经历。

2 风险保费的估计

定理2 如果已知风险参数Θ，那么我们就能用一个函数P（θ）来预测Xn+1 （未来的索赔），在相对差损失函数（*）下，求解：

minP（θ）E[L（Xn+1，P（θ））|θ]=minP（θ）E[（1— P（θ）Xn+1）2|θ]，得到P（θ）= E（X—2n+1）E（X—1n+1）。证记ψ=E[（1— P（θ）Xn+1）2|θ]，则坠ψ坠P =E 2（1— P（θ）Xn+1）（—1Xn+1P ）|θ P，令坠ψ坠P=0，定理即得证。

函数P（θ）通常叫做风险随机变量X 的风险保费，在实际问题中因为风险参数是未知的，所以保费P（θ）也是不知道的，因此可以通过样本估计P（θ）。

当n=0 时，也就是索赔样本没有的情况下，这时的风险保费P（θ）我们可以通过一个实数P 来估计，要让相对差损失函数（*）达到最小，也就是下面最优化的问题：

minP∈R E[L（P（θ），P）]=minP∈R E（1— P（θ）PP ） P 2 ，得到P= E[P—2（θ）]E[P—1（θ）]。通过观察风险X 的索赔样本Xn，就需要根据样本的一个函数来构造风险保费估计。记表示样本Xn 所有的可测函数构成的一个集合，在这个集合中，我们考虑最小化的问题：

H1 （ Xn）= minH（Xn）∈E[L（P（θ），H（Xn））]= minH（Xn）∈E 1— H（Xn）θ P（θ） θ2 P P（1）

定理3 最优化（1）式，得到最优预测为H1 （ Xn ）= E[P—（1 θ）]E[P—（2 θ）]，称H1 （ Xn ）为相对差损失函数（*）下的Bayes 保费。

证由Bayes 定理可知，最优化（1）式只需在后验分布下达到最小，

记ψ=E 1— H（Xn）θ P（θ） θ2| Xn P P，

令坠ψ坠H=0，得到下面的正规方程：

E 2 1— H（Xn）θ P（θ） θ— 1θP（θ）θ| Xn P P=0，化简后定理即得证。H1 （ Xn）是风险保费在相对差损失函数（*）下最优的估计，这里我们称之为Bayes 估计。在一些分布的假定下，Bayes 估计可以得到更加简单的式子，但是一般来说Bayes 估计H1 （ Xn）的表达式都会复杂，甚至有些可能根本没有显示函数的形式。我们看下面的例子。

例设X1，X2，…，Xn，Xn+1 在风险参数Θ=θ 给定时为独立同分布的随机变量，且Xi ~ U（1，θ），θ ~ U（2，3），则f（X| Θ）= 1θ—1，π（θ）=1，

那么，风险保费为

P（θ）= E[X—2| Θ]E[X—1| Θ] =θ1 乙x—2f（X|θ）dxθ1 乙x—1f（X|θ）dx= 1—θθlnθ，

而π（θ| Xn）=（1—n）（θ—1）—n2—n+1 ，

因此Bayes 估计为H1 （ Xn）= E[P—（1 θ）]E[P—（2 θ）]= 2—n+1（1—n）32 乙（θ—1）—n+1θlnθdθ。

3 结论

本文研究了相对差保费原理下风险保费的信度估计问题。利用了损失函数法，将相对差保费原理定义为相对差损失函数下风险的最优估计。利用保费计算原理，引入相对差损失函数得到了下一期的信度保费计算公式，从而得出Bayes 保费。

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