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最新奥数试题解析

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2018最新奥数试题解析

甲多开支100元，三年后负债600元.求每人每年收入多少?

S的末四位数字的和是多少?

一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程.

求和

证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数.

若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除.

如图1-95所示.在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点.求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半.

答案解析：

所以 x=5000(元).

所以S的末四位数字的和为1+9+9+5=24.

因为

时，a-b0，即ab.即当b0或b0时，等式成立.4.设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米.依题意则

有

由②有2x+y=20， ③

由①有y=12-x.将之代入③得

2x+12-x=20.

所以x=8(千米)，于是y=4(千米).

5.第n项为

所以设p=30q+r，030.因为p为质数，故r0，即0

由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即

(4-m)pq+1=2(p+q).

可知m4.由①，m0，且为整数，所以m=1，2，3.下面分别研究p，q.

(1)若m=1时，有

解得p=1，q=1，与已知不符，舍去.

(2)若m=2时，有

因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解.

(3)若m=3时，有

解之得

故 p+q=8.

9.连结AN，CN，如图1-103所示.因为N是BD的中点，所以上述两式相加

另一方面，S△PCD=S△CND+S△CNP+S△DNP.

因此只需证明

S△AND=S△CNP+S△DNP.

由于M，N分别为AC，BD的中点，所以

S△CNP=S△CPM-S△CMN

=S△APM-S△AMN

=S△ANP.

又S△DNP=S△BNP，所以

S△CNP+S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND.

奥数试题解析

甲多开支100元，三年后负

债600元.求每人每年收入多少?