标题 | 高中数学几类不同增长的函数模型练习题 |
范文 | 高中数学几类不同增长的函数模型练习题 一、选择题 1.下列函数中,增长速度最慢的是() A.y=6x B.y=log6x C.y=x6 D.y=6x [答案] B 2.下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是() A.y=50(xZ) B.y=1 000x C.y=0.42x-1 D.y=1100 000ex [答案] D [解析] 指数函数增长速度最快,且e2,因而ex增长最快. 3.(2013~2014长沙高一检测)如图,能使不等式log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围是() A.x>0 B.x>2 C.x<2 D.0<x<2 [答案] D 4.以下四种说法中,正确的是() A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B.对任意的x>0,xn>logax C.对任意的x>0,ax>logax D.不一定存在x0,当x>x0时,总有ax>xn>logax [答案] D [解析] 对于A,幂函数与一次函数的.增长速度受幂指数及一次项系数的影响,幂指数与一次项系数不确定,增长幅度不能比较;对于B,C,当0<a<1时,显然不成立.当a>1,n>0时,一定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xn>logax,但若去掉限制条件“a>1,n>0”,则结论不成立. 5.三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表: x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1715 3645 6655 y2 5 29 245 2189 19685 177149 y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4 则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为() A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1 D.y1,y3,y2 [答案] C [解析] 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知,对数函数的增长速度越来越慢,变量y3随x的变化符合此规律;指数函数的增长速度越来越快,y2随x的变化符合此规律;幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间,y1随x的变化符合此规律,故选C. 6.四个人赛跑,假设他们跑过的路程fi(x)(i{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是() A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4x C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x [答案] D [解析] 显然四个函数中,指数函数是增长最快的,故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)=2x,故选D. 二、填空题 7.现测得(x,y)的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用________作为函数模型. [答案] 甲 8.某食品加工厂生产总值的月平均增长率为p,则年平均增长率为________. [答案] (1+p)12-1 9.在某种金属材料的耐高温实验中,温度y(℃)随着时间t(分)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示:现给出下列说法________ ①前5分钟温度增加越来越快; ②前5分钟温度增加越来越慢; ③5分钟后温度保持匀速增加; ④5分钟后温度保持不变. [答案] ②③ [解析] 前5分钟,温度y随x增加而增加,增长速度越来越慢; 5分钟后,温度y随x的变化曲线是直线,即温度匀速增加.故说法②③正确. 三、解答题 10.(2013~2014沈阳高一检测)某种新栽树木5年成材,在此期间年生长率为20%,以后每年生长率为x%(x<20).树木成材后,既可以砍伐重新再栽,也可以继续让其生长,哪种方案更好? [解析] 只需考虑10年的情形.设新树苗的木材量为Q,则连续生长10年后木材量为:Q(1+20%)5(1+x%)5,5年后再重栽的木才量为2Q(1+20%)5,画出函数y=(1+x%)5与y=2的图象,用二分法可求得方程(1+x%)5=2的近似根x=14.87,故当x<14.87时就考虑重栽,否则让它继续生长. 11.有甲、乙两个水桶,开始时水桶甲中有a升水,水桶乙中无水,水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中,t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y=ae-nt,假设过5分钟时水桶甲和水桶乙的水相等,求再过多长时间水桶甲中的水只有a8. [解析] 由题意得,ae-5n=a-ae-5n,即e-5n=12,设再过t分钟水桶甲中的水只有a8,得ae-n(t+5)=a8, 所以(12)t+55=(e-5n)t+55=e-n(t+5)=18=(12)3, t+55=3, t=10. 再过10分钟水桶甲中的水只有a8. 12.某地区今年1月,2月,3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患 病人数,甲选择了模型y=ax2+bx+c,乙选择了模型y=pqx+r,其中y为患病人数,x为月份数,a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月,5月,6月份的患病人数分别为66,82,115,你认为谁选择的模型较好? [解析] 依题意: 得a12+b1+c=52,a22+b2+c=54,a32+b3+c=58, 即a+b+c=52,4a+2b+c=54,9a+3b+c=58,解得a=1,b=-1,c=52. 甲:y1=x2-x+52, 又pq1+r=52 ①pq2+r=54 ②pq3+r=58 ③ ①-②,得pq2-pq1=2 ④ ②-③,得pq3-pq2=4 ⑤ ⑤④,得q=2, 将q=2代入④式,得p=1, 将q=2,p=1代入①式,得r=50, 乙:y2=2x+50, 计算当x=4时,y1=64,y2=66; 当x=5时,y1=72,y2=82; 当x=6时,y1=82,y2=114. 可见,乙选择的模型较好. |
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