标题 | 导数练习题及答案 |
范文 | 导数练习题及答案 导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。以下是导数练习题及答案,欢迎阅读。 一、选择题 1.函数在某一点的导数是( ) A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B.一个函数 C.一个常数,不是变数 D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C [解析] 由定义,f′(x0)是当Δx无限趋近于0时,ΔyΔx无限趋近的常数,故应选C. 2.如果质点A按照规律s=3t2运动,则在t0=3时的瞬时速度为( ) A.6 B.18 C.54 D.81 [答案] B [解析] ∵s(t)=3t2,t0=3, ∴Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=3(3+Δt)2-332 =18Δt+3(Δt)2∴ΔsΔt=18+3Δt. 当Δt→0时,ΔsΔt→18,故应选B. 3.y=x2在x=1处的导数为( ) A.2x B.2 C.2+Δx D.1 [答案] B [解析] ∵f(x)=x2,x=1, ∴Δy=f(1+Δx)2-f(1)=(1+Δx)2-1=2Δx+(Δx)2 ∴ΔyΔx=2+Δx 当Δx→0时,ΔyΔx→2 ∴f′(1)=2,故应选B. 4.一质点做直线运动,若它所经过的路程与时间的关系为s(t)=4t2-3(s(t)的单位:m,t的单位:s),则t=5时的`瞬时速度为( ) A.37 B.38 C.39 D.40 [答案] D [解析] ∵ΔsΔt=4(5+Δt)2-3-4×52+3Δt=40+4Δt, ∴s′(5)=limΔt→0 ΔsΔt=limΔt→0 (40+4Δt)=40.故应选D. 5.已知函数y=f(x),那么下列说法错误的是( ) A.Δy=f(x0+Δx)-f(x0)叫做函数值的增量 B.ΔyΔx=f(x0+Δx)-f(x0)Δx叫做函数在x0到x0+Δx之间的平均变化率 C.f(x)在x0处的导数记为y′ D.f(x)在x0处的导数记为f′(x0) [答案] C [解析] 由导数的定义可知C错误.故应选C. 6.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为y′|x=x0,即( ) A.f′(x0)=f(x0+Δx)-f(x0) B.f′(x0)=limΔx→0[f(x0+Δx)-f(x0)] C.f′(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)Δx D.f′(x0)=limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx [答案] D [解析] 由导数的定义知D正确.故应选D. 7.函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)在x=2时的瞬时变化率等于( ) A.4a B.2a+b C.b D.4a+b [答案] D [解析] ∵ΔyΔx=a(2+Δx)2+b(2+Δx)+c-4a-2b-cΔx =4a+b+aΔx, ∴y′|x=2=limΔx→0 ΔyΔx=limΔx→0 (4a+b+aΔx)=4a+b.故应选D. 8.如果一个函数的瞬时变化率处处为0,则这个函数的图象是( ) A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.直线 [答案] D [解析] 当f(x)=b时,f′(x)=0,所以f(x)的图象为一条直线,故应选D. 9.一物体作直线运动,其位移s与时间t的关系是s=3t-t2,则物体的初速度为( ) A.0 B.3 C.-2 D.3-2t [答案] B [解析] ∵ΔsΔt=3(0+Δt)-(0+Δt)2Δt=3-Δt, ∴s′(0)=limΔt→0 ΔsΔt=3.故应选B. 10.设f(x)=1x,则limx→a f(x)-f(a)x-a等于( ) A.-1a B.2a C.-1a2 D.1a2 [答案] C [解析] limx→a f(x)-f(a)x-a=limx→a 1x-1ax-a =limx→a a-x(x-a)xa=-limx→a 1ax=-1a2. 二、填空题 11.已知函数y=f(x)在x=x0处的导数为11,则 limΔx→0f(x0-Δx)-f(x0)Δx=________; limx→x0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=________. [答案] -11,-112 [解析] limΔx→0 f(x0-Δx)-f(x0)Δx =-limΔx→0 f(x0-Δx)-f(x0)-Δx=-f′(x0)=-11; limx→x0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=-12limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx =-12f′(x0)=-112. 12.函数y=x+1x在x=1处的导数是________. [答案] 0 [解析] ∵Δy=1+Δx+11+Δx-1+11 =Δx-1+1Δx+1=(Δx)2Δx+1, ∴ΔyΔx=ΔxΔx+1.∴y′|x=1=limΔx→0 ΔxΔx+1=0. 13.已知函数f(x)=ax+4,若f′(2)=2,则a等于______. [答案] 2 [解析] ∵ΔyΔx=a(2+Δx)+4-2a-4Δx=a, ∴f′(1)=limΔx→0 ΔyΔx=a.∴a=2. 14.已知f′(x0)=limx→x0 f(x)-f(x0)x-x0,f(3)=2,f′(3)=-2,则limx→3 2x-3f(x)x-3的值是________. [答案] 8 [解析] limx→3 2x-3f(x)x-3=limx→3 2x-3f(x)+3f(3)-3f(3)x-3 =limx→3 2x-3f(3)x-3+limx→3 3(f(3)-f(x))x-3. 由于f(3)=2,上式可化为 limx→3 2(x-3)x-3-3limx→3 f(x)-f(3)x-3=2-3×(-2)=8. 三、解答题 15.设f(x)=x2,求f′(x0),f′(-1),f′(2). [解析] 由导数定义有f′(x0) =limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx =limΔx→0 (x0+Δx)2-x20Δx=limΔx→0 Δx(2x0+Δx)Δx=2x0, 16.枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动,如果它的加速度是5.0×105m/s2,枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10-3s,求枪弹射出枪口时的瞬时速度. [解析] 位移公式为s=12at2 ∵Δs=12a(t0+Δt)2-12at20=at0Δt+12a(Δt)2 ∴ΔsΔt=at0+12aΔt, ∴limΔt→0 ΔsΔt=limΔt→0 at0+12aΔt=at0, 已知a=5.0×105m/s2,t0=1.6×10-3s, ∴at0=800m/s. 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s. 17.在曲线y=f(x)=x2+3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1+Δx,4+Δy),求(1)ΔyΔx (2)f′(1). [解析] (1)ΔyΔx=f(1+Δx)-f(1)Δx =(1+Δx)2+3-12-3Δx=2+Δx. (2)f′(1)=limΔx→0 f(1+Δx)-f(1)Δx =limΔx→0 (2+Δx)=2. 18.函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处是否有导数?若有,求出来,若没有,说明理由. [解析] f(x)=x+x2 (x≥0)-x-x2 (x<0) Δy=f(0+Δx)-f(0)=f(Δx) =Δx+(Δx)2 (Δx>0)-Δx-(Δx)2 (Δx<0) ∴limx→0+ ΔyΔx=limΔx→0+ (1+Δx)=1, limΔx→0- ΔyΔx=limΔx→0- (-1-Δx)=-1, ∵limΔx→0- ΔyΔx≠limΔx→0+ ΔyΔx,∴Δx→0时,ΔyΔx无极限. ∴函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处没有导数,即不可导.(x→0+表示x从大于0的一边无限趋近于0,即x>0且x趋近于0) |
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