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数学高考一轮复习基本不等式专项练习及答案

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数学高考一轮复习基本不等式专项练习及答案

1.若xy0，则对 xy+yx说法正确的是()

A.有最大值-2 B.有最小值2

C.无最大值和最小值 D.无法确定

答案：B

2.设x，y满足x+y=40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()

A.400 B.100

C.40 D.20

答案：A

3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.

答案：2 4

4.已知f(x)=12x+4x.

(1)当x0时，求f(x)的最小值;

(2)当x0 时，求f(x)的最大值.

解：(1)∵x0，12x，4x0.

12x+4x212x4x=83.

当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，

当x0时，f(x)的最小值为83.

(2)∵x0，-x0.

则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，

当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.

当x0时，f(x)的最大值为-83.

一、选择题

1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的'是()

A.x+12x B.x2-1+1x2-1

C.2x+2-x D.x(1-x)

答案：C

2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()

A.32-3 B.-3

C.62 D.62-3

解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.

3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()

A.200 B.100

C.50 D.20

解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.

4.给出下面四个推导过程：

①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba

②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx

③∵aR，a0，4a+a 24a

④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.

其中正确的推导过程为()

A.①② B.②③

C.③④ D.①④

解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑.

①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确;

②虽然x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;

③∵aR，不符合基本不等式的条件，

4a+a24aa=4是错误的;

④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.

5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()

A.2 B.22

C.4 D.5

解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.

6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()

A.最大值64 B.最大值164

C.最小值64 D.最小值164

解析：选C.∵x、y均为正数，

xy=8x+2y28x2y=8xy，

当且仅当8x=2y时等号成立.

xy64.

二、填空题

7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.

答案：1

8.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.

解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.

答案：大 116

9.(2010年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.

解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.

当且仅当x3=y4时取等号.

答案：3

三、解答题

10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;

(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.

解：(1)∵x-1，x+10.

y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5

2 x+14x+1+5=9，

当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.

x=1时，函数的最小值是9.

(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1

=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.

(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.

当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，

y有最小值8.

11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.

证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，

1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，

同理1b-12acb，1c-12abc，

以上三个不等式两边分别相乘得

(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.

当且仅当a=b=c时取等号.

12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).

问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.

解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.

总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200

=800(x+225x)+12000

1600x225x+12000

=36000(元)

当且仅当x=225x(x0)，

即x=15时等号成立.

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